Здравствуйте, в этой статье мы постараемся ответить на вопрос: «Как делить обыкновенные и десятичные дроби». Если у Вас нет времени на чтение или статья не полностью решает Вашу проблему, можете получить онлайн консультацию квалифицированного юриста в форме ниже.
В математике выделяют дроби правильные и неправильные. Правильные — те, у которых числитель меньше знаменателя. Например: 1/3, 2/5, 4/12. Но бывает и так, что числитель становится больше знаменателя. Если объяснять предметно, то взято больше частей пирога, чем было тех, на которые он поделен. Такое вполне возможно и в жизни, и в математике.
Калькуляторы по алгебре
Что такое смешанные дроби?
У таких дробей можно отделить целую часть и оставшуюся после этого дробную. То есть будет видно, сколько взято целых пирогов и плюс определенное количество его частей. Нужно хорошо представить себе описанное, или даже проверить на практике, а не просто заучивать формулы. Тогда сокращение дробей будет выполняться ребенком осмысленно и безошибочно.
Для того чтобы трансформировать неправильную дробь в смешанное число, следует сперва числитель поделить на знаменатель. В результате почти всегда получим целое число и какой-то остаток. Целое число и нужно записать, как целую часть. А остаток — отправить в числитель дробной части. Неизменным остается только знаменатель.
Неправильными называют и дроби с одинаковым числом над и под дробной чертой: 6/6, 12/12 и т. д. Очевидно, что превратить их можно в 1. Наглядно это взято столько кусочков пирога, на сколько он и был поделен, т. е. целый пирог.
Примеры:
- 14/5 = (5*2+4) / 5 = 2 4/5
- 21/6 = (6*3+ 3) / 6 = 3 3/6
Задание:
Выделите целую часть из неправильных дробей:
- 15/4,
- 22/12,
- 30/7.
Можно провести противоположную процедуру — превратить смешанное число в неправильную дробь. Эта операция часто применяется в математических вычислениях, поэтому будет полезным узнать о ней. Для этого нужно сперва умножить целую часть и знаменатель. Затем получившееся число прибавить к числителю, а знаменатель оставить прежним.
Примеры:
- 3 1/8 = (3*8+1) / 8 = 25/8
- 7 4/9 = (7*9+4) / 9 = 67/9
Задание:
1. Преобразовать в смешанное число неправильную дробь:
- 27/4,
- 18/5,
- 45/7.
2. Выполнить обратную первой задачу — смешанное число превратить в неправильную дробь:
- 3 4/5;
- 12 7/11.
Дроби, в знаменателях которых есть числа, кратные десяти — 10, 100, 1000 и т. д. — в математике можно обозначать следующим образом. Сначала пишется целая часть, а потом числитель из дробной части, отделенный запятой.
Например, 5 4/10 попробуем записать в виде десятичной дроби. Пишем целую часть (5), ставим запятую и далее пишем числитель дробной части (4). Получаем: 5,4. Читается эта дробь так: «пять целых и четыре десятых». Число, представленное в таком виде, именуется десятичной дробью.
Существуют также десятичные дроби без целой части. Например: 7/100. Как быть в таком случае? Чтобы записать подобную дробь, пишут ноль, ставят запятую и далее записывают числитель дроби — 0,07. Такая дробь читается как «ноль целых, семь сотых».
Десятичные дроби очень удобны, они используются в точных вычислениях. Десятичная система исчисления применяется человечеством с самых древних времен. Она интуитивна понятна и проста.
Задание:
Преобразовать следующие дроби в десятичные:
- 8/10,
- 4/100,
- 7/1000.
Приведение дробей к общему знаменателю
Любые две дроби можно привести к общему знаменателю. Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю (НОК) – минимальное число, которое делится на каждый знаменатель.
Например, для дробей 1/4 и 1/3 общий знаменатель общий знаменатель равен 12, для дробей 1/6 и 1/3 общий знаменатель будет 6).
Для приведения дроби к общему знаменателю нужно:
1. Найти общий знаменатель – НОК (для дробей 1/6 и 1/9 общий знаменатель будет равен 18);
2. Найти множитель для каждой дроби – разделить общий знаменатель на знаменатель исходной дроби (для дроби 1/6 множитель будет равен 3 (18:6=3), для дроби 1/9 – 2 (18:9=2)).
3. Умножить числитель дроби на множитель (для дроби 1/6 получаем 1*3/6*3=3/18, для дроби 1/9 получаем 2*1/2*9=2/18)
Алгоритм действий при сложении двух дробей такой:
- Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
- Привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно числитель и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби, а числитель и знаменатель второй дроби умножить на знаменатель первой дроби.
- Выполнить сложение дробей путем сложения их числителей.
- Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
- Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.
Алгоритм действий при делении двух дробей:
- Перевести смешанные дроби в обыкновенные (избавиться от целой части).
- Чтобы произвести деление дробей, нужно преобразовать вторую дробь, поменяв местами её числитель и знаменатель, а затем произвести умножение дробей.
- Умножить числитель первой дроби на числитель второй дроби и знаменатель первой дроби на знаменатель второй.
- Найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и сократить дробь, поделив числитель и знаменатель на НОД.
- Если числитель итоговой дроби больше знаменателя, то выделить целую часть.
Как следует переводить дробь?
Из смешанной дроби в обыкновенную:
- Необходимо умножить знаменатель дробной части на единицу целой части;
- К произведению, которое получилось, следует прибавить числитель дробной части;
- Сам знаменатель при этом оставить без изменений.
Из обыкновенной дроби в смешанную:
- Разделить числитель дроби на знаменатель;
- Полученный результат будет являться целой частью;
- То, что останется в результате деления (остаток) будет числителем.
Из десятичной дроби в обыкновенную или смешанную^
- Для этого действия необходимо целую часть умножать на знаменатель дробной части.
- После этого полученный результат сложить с числителем дробной части. То, что получилось в итоге, и будет числителем новой дроби, а сам знаменатель при этом останется без изменений.
Обзор урока в шестом классе: упрощение дробей
На этом уроке я покажу ученикам два метода упрощения дробей. Первый метод предназначен для студентов, которым было трудно найти GCF на предыдущих уроках, но которые комфортно понимают правила делимости. Второй метод предназначен для студентов, которым не только удобно находить GCF, но и они могут делать это с помощью мысленной математики.
Мы обсудим оба метода и рассмотрим примеры для каждого метода.
Метод 1 — Найдите общий множитель
Пр. 1 — Упростить 40/48
Шаг 1. Найдите общий множитель для числителя и знаменателя.
Напомню студентам, что для нахождения общего множителя можно использовать правила делимости. Что такое общий множитель 40 и 48? Большинство студентов скажут 2, потому что они оба четные числа. На доске я буду использовать 2, чтобы показать студентам повторяющиеся шаги использования наименьшего общего множителя.
Шаг 2 — Разделите числитель и знаменатель на общий множитель.
Студенты должны иметь ответ 20/24. Можно ли снова уменьшить дробь? Откуда вы знаете?
Шаг 3 — Повторяйте процесс, пока не исчезнут общие факторы.
Окончательный ответ будет 5/6. Как узнать, что вы полностью упростили дробь? Какие наблюдения вы можете сделать?
У студентов может быть несколько ответов:
- 5 — простое число
- 5 нечетное и 6 четное
- Единственное число, которое можно разделить на 5 и 6, — 1.
- 5 и 6 являются взаимно простыми.
Хотя все приведенные выше наблюдения верны, я хочу, чтобы студенты подумали, какое из них верно для всех упрощенных дробей. При необходимости приведу еще несколько примеров упрощенных дробей. Студенты должны прийти к выводу, что если числитель и знаменатель имеют gcf равное 1, относительно простое, то дробь полностью упрощается.
Вычитание дробей из целого числа
Еще одной из разновидностей действий с дробями является тот случай, когда дробь необходимо отнять от На первый взгляд подобный пример кажется трудно решаемым. Однако здесь все довольно просто. Для его решения необходимо перевести целое число в дробь, причем с таким знаменателем, который имеется в вычитаемой дроби. Далее производим вычитание, аналогичное вычитанию с одинаковыми знаменателями. На примере это выглядит так:
7 — 4/9 = (7 х 9)/9 — 4/9 = 53/9 — 4/9 = 49/9.
Приведенное в этой статье вычитание дробей (6 класс) является основой для решения более сложных примеров, которые рассматриваются в последующих классах. Знания этой темы используются впоследствии для решения функций, производных и так далее. Поэтому очень важно разобраться и понять действия с дробями, рассматриваемые выше.
Практически каждый пятиклассник после первого знакомства с обыкновенными дробями находится в небольшом шоке. Мало того, что нужно еще понять суть дроби, так с ними еще придется выполнять арифметические действия. После этого маленькие ученики будут систематически допрашивать своего учителя, разузнавать когда же эти дроби кончатся.
Чтобы избежать подобных ситуаций, достаточно всего лишь как можно проще объяснить детям эту нелегкую тему, а лучше в игровой форме.
Умножение простой дроби на число
При умножении простой дроби на натуральное число, ее числитель следует умножить на этот множитель, а знаменатель оставить без изменения.
| 3 8 | × | 4 | = | 3 × 4 8 | = | 12 8 | = | 1 | 4 8 | = | 1 | 1 2 |
Как делить обыкновенные и десятичные дроби
1. Дробь — число нецелое, оно обозначает количество долей целого.
2. Дробь меньше целого.
3. Чем на большее число долей поделено целое, тем эти доли меньше и наоборот — чем долей меньше, тем они, соответственно, больше.
Для обозначения долей в математике используют понятие обыкновенная дробь. С ее помощью можно записать абсолютно любое необходимое количество долей.
Обыкновенная дробь представляет собой две части, именуемые числителем и знаменателем. Записываются они разделенными горизонтальной чертой либо наклонной вправо линией. Знаменатель пишется внизу либо справа от дробной черты, он показывает общее количество частей от целого, на которое оно было поделено. А числитель пишется вверху или слева от дробной черты и показывает, сколько долей целого сейчас взяли.
Вернемся к нашему пирогу. Очевидно, что разделить его реально на сколько угодно равных частей. В зависимости от того, на сколько частей его разделили, меняется и знаменатель дроби. У пирога, разделенного одной прямой линией на две части, знаменатель будет равен 2, у разделенного на три части — 3 и т. д. Числитель же, в свою очередь, показывает, сколько частей сейчас взято. Если взяли только одну часть из двух, то получится дробь 1/2, только две из трех — 2/3 и т. д.
В математике выделяют дроби правильные и неправильные. Правильные — те, у которых числитель меньше знаменателя. Например: 1/3, 2/5, 4/12. Но бывает и так, что числитель становится больше знаменателя. Если объяснять предметно, то взято больше частей пирога, чем было тех, на которые он поделен. Такое вполне возможно и в жизни, и в математике.
У таких дробей можно отделить целую часть и оставшуюся после этого дробную. То есть будет видно, сколько взято целых пирогов и плюс определенное количество его частей. Нужно хорошо представить себе описанное, или даже проверить на практике, а не просто заучивать формулы. Тогда сокращение дробей будет выполняться ребенком осмысленно и безошибочно.
Для того чтобы трансформировать неправильную дробь в смешанное число, следует сперва числитель поделить на знаменатель. В результате почти всегда получим целое число и какой-то остаток. Целое число и нужно записать, как целую часть. А остаток — отправить в числитель дробной части. Неизменным остается только знаменатель.
Неправильными называют и дроби с одинаковым числом над и под дробной чертой: 6/6, 12/12 и т. д. Очевидно, что превратить их можно в 1. Наглядно это взято столько кусочков пирога, на сколько он и был поделен, т. е. целый пирог.
Примеры:
- 14/5 = (5*2+4) / 5 = 2 4/5
- 21/6 = (6*3+ 3) / 6 = 3 3/6
Задание:
Выделите целую часть из неправильных дробей:
- 15/4,
- 22/12,
- 30/7.
Можно провести противоположную процедуру — превратить смешанное число в неправильную дробь. Эта операция часто применяется в математических вычислениях, поэтому будет полезным узнать о ней. Для этого нужно сперва умножить целую часть и знаменатель. Затем получившееся число прибавить к числителю, а знаменатель оставить прежним.
Примеры:
- 3 1/8 = (3*8+1) / 8 = 25/8
- 7 4/9 = (7*9+4) / 9 = 67/9
Задание:
1. Преобразовать в смешанное число неправильную дробь:
- 27/4,
- 18/5,
- 45/7.
2. Выполнить обратную первой задачу — смешанное число превратить в неправильную дробь:
- 3 4/5;
- 12 7/11.
Дроби, в знаменателях которых есть числа, кратные десяти — 10, 100, 1000 и т. д. — в математике можно обозначать следующим образом. Сначала пишется целая часть, а потом числитель из дробной части, отделенный запятой.
Например, 5 4/10 попробуем записать в виде десятичной дроби. Пишем целую часть (5), ставим запятую и далее пишем числитель дробной части (4). Получаем: 5,4. Читается эта дробь так: «пять целых и четыре десятых». Число, представленное в таком виде, именуется десятичной дробью.
Существуют также десятичные дроби без целой части. Например: 7/100. Как быть в таком случае? Чтобы записать подобную дробь, пишут ноль, ставят запятую и далее записывают числитель дроби — 0,07. Такая дробь читается как «ноль целых, семь сотых».
Десятичные дроби очень удобны, они используются в точных вычислениях. Десятичная система исчисления применяется человечеством с самых древних времен. Она интуитивна понятна и проста.
Задание:
Преобразовать следующие дроби в десятичные:
- 8/10,
- 4/100,
- 7/1000.
Сокращение дробей выполняют для того, чтобы их упростить. Если числитель и знаменатель дроби таковы, что делятся на одно и то же число (имеют общий делитель), то можно просто разделить их на это число, упростив тем самым дробь. Эта математическая операция называется сокращением дробей. Чтобы разобраться с этим, рассмотрим пару таких примеров.
Существует два варианта умножения дробей. Рассмотрим каждый из них в деталях.
В этом случае числители обеих дробей перемножаются — это будет новый числитель. Знаменатели обеих дробей также перемножаются — это будет новый знаменатель.
Пример:
2/5 * 3/4 = (2*3) / (5*4) = 6/20 = 3/10
Если это возможно, то следует сократить дроби перед перемножением. Это облегчит дальнейшие действия.
Пример:
24/35 * 25/36 = (24*25) / (35*36) = (2*5) / (7*3) = 10/21
- Геометрия
- Информатика
- Математика
- Алгебра
- Алгебра и начала математического анализа
- Изобразительное искусство
- Музыка
- Испанский язык
- Английский язык
- Немецкий язык
- Французский язык
- Основы безопасности жизнедеятельности
- Физическая культура